گزارش‌های ریاضی

ببین و بگو!

1

در سطر بالا چه می‌بینید؟ جواب:

ی دونه یک (یکی یک)

11

حالا در سطر بالا چی می‌بینید؟ جواب:

دو تا یک

21

حالا مجددا، در سطر بالا چی می‌بینید:

ی دونه دو، و ی دونه یک

1211

الگویی که جمله بعدی رو بدست می‌آوریم، ساده است؛ 

ببین و بگو

در عدد بالا،1211 چی می‌بینید، از سمت چپ که بخونیم:

ی دونه 1 (11)

ی دونه 2 (12)

دو تا 1  (21)

پس جمله بعدی دنباله می‌شود:

111221

و به همین ترتیب، بقیه جملات بدست می‌آید:

312211

13112221

1113213211

.

دنباله بالا چند ویژگی دارد که بعضی از آن‌ها جالب و اثباتشون سخت هست:

• 1. دنباله و الگوی بالا بازگشتی هست، یعنی جمله فعلی رو می‌توان توسط جمله (جملات) قبلی بدست آورد.
• 2. فقط رقم‌های 1و2و3و در جملات بالا ظاهر می‌شود. یعنی اگر بقیه جملات الگو را بنویسیم، رقم‌های 6و5و4و. هرگز ظاهر نمی‌شود.( اثبات کمی سخت، ولی در حد دانش‌آموز دبیرستانی هست، به  کمک برهان خلف)
• 3. طول دنباله (تعداد رقم‌های آن) افزایش پیدا می‌کند.(واضح هست). ولی اگر چند جمله‌ی دیگر دنباله را بنویسیم. یک الگو در مورد رشد طول دنباله پیدا می‌شود.

جان کانوی، ریاضیدان معروف انگلیسی، ثابت کرده است که این رشد طول، به صورت یک تصاعد هندسی با قدر نسب r=1.30357726.9.0 هست. که این عدد خودش گنگ و ریشه‌ی مثبت و حقیقی چندجمله‌ای درجه‌ی 71،! زیر هست:

مکان تنها ریشه‌ی مثبت حقیقی معادله بالا را، در شکل زیر می‌بینید:

کانوی در واقع ثابت کرد که بلوک‌های تشکیل دهنده هر جمله دنباله بعد ار مدتی ثابت و یکسان می‌شوند.

جمله اول دنباله بالا با یک شروع شد، در واقع فرقی نمی‌کند با 1 یا 2 یا 3و. شروع شود. دنباله دوباره، تناوبی می‌شود.

حال به عنوان تمرین دنباله را از 2 شروع کنید و ببینید و بگویید:

2, 12, 1112, 3112, 132112, 1113122112, 311311222112, .

منبع:

1.http://mathworld.wolfram.com/topics/NumberTheory.html

2. کتاب ریاضی تکمیلی هفتم

بازی slitherlink  بازی_ریاضی معروفی  هست.
در این بازی به دنبال یافتن یک #مسیر_بسته ای هستیم.
هر خانه 6ضلع(مدل دیگر بازی 4ضلع)دارد. عددی که داخل هر خانه نوشته شده است. تعداد ضلعهای آن را که در مسیر بسته قرار دارد نشان میدهد.
مثلا اگر 0 باشد. یعنی هیچکدام از اضلاع این خانه درگیر مسیر بسته نیستند.و
جواب مساله هم یکتاست. یعنی فقط یک و فقط یک مسیر بسته جواب مساله هست.
شبیه به بازی #مین_یاب مفاهیم ریاضی زیادی در این بازی مطرح میشود و به شما در حل مساله کمک میکنند:

• #اصل_لانه_کبوتری

• #برهان_خلف

هر چه اندازه شبکه را بزرگتر کنید در بعضی از موارد استفاده از مفاهیم پیچیده تری مانند

• #توپولوژی_پیوستگی_زوج_و_فرد

نیز میتواند به شما کمک کند.
بسته بودن مسیر نشان میدهد که هیچ چشمه یا چاهی هم وجود ندارد.(دیورژانس).
حالا اگر با بازی درگیر شوید. خودتان کم کم به مطالب #دیگر_جالب_ریاضی برمیخورید.
#تمرین_برنامه_نویسی

برای دریافت نسخه آندرویدی این بازی به لینک زیر مراجعه کنید:

http://t.me/ilam_math/590

فرض کنید دو اینه را کنار هم قرار می‌دهیم، اگر زاویه بین دوآینه α باشد، قاعدتا باید 2π/α شکل تولید شود.

ولی اگر دقیق نگاه کنیم بسته به اینکه عدد 2π/α عددی گویا، گنگ یا صحیح باشد، شرایط متفاوتی پیش می‌آید.

• اگر هم که زاویه صفر باشد، بینهایت تصویر تشکیل می‌شود.

#معرفی بازی #minesweeper
حتما شما هم به بازی های پیشفرض سیستم عامل ویندوز سری زده اید و بازی #مین_یاب را تجربه کرده اید و احتمالا فکر می کنید این بازی یک بازی کاملا شانسی است و به شانس شما بستگی دارد که ببرید یا ببازید درحالیکه این فکر کاملا اشتباه است.چرا که این بازی دارای یک الگوی ساده برای یافتن مین ها است که علاوه بر اعتیاد اور بودن این بازی یک بازی بسیار مفید برای تقویت ذهن شما است که برای برنامه نویس ها توصیه می شود چون کاملا به تمرکز و تفکر سر و کار دارد مثلا این بازی پر است از دستورات

• #if  اگر

 و 

• #else  وگرنه

که یکی از مفاهیم مهم #برنامه_نویسی است!

خوب بریم سراغ بازی:

وارد بازی بشین و ابتدا یکی از خانه ها را انتخاب کنید و اگر بمب بود شانس شما زیر خط فقر است (: اگر چنین شد بازی را ریستارت کنید ولی اگر اینطور نشد که احتمالا نخواهد شد ادامه دهید!

هر خانه هشت خانه در اطراف اش دارد

حال اعداد چیست؟ این اعداد مثلا در بالا 2 نشان دهنده تعداد بمب در اطراف (8 خانه دورش) ان خانه است حال با این الگوریتم شروع به پیدا کردن بمب ها کنید و هر بمب ای ر ا که پیدا کردید با علامت پرچم (عوض کردن علامت با راست کلیک) مشخص کنید

این بازی یکی از بازی های مورد علاقه ی بیل گیتس است.

 

در شکل زیر حالت ساده ای را مشاهده میکنید

 

---

حل بازی مین یاب علاوه بر شانس درمواقع تنگنا،به #اصل_لانه_کبوتری #برهان_خلف و #اجتماع_اشتراک_مجموعه بستگی دارد
دربالا سه حالت و جواب آن داده شده است سعی کنید اثبات کنید

 

 

طرح مساله

قله‌ی فتح نشده‌ای کشف شده و دو کشور رقیب می‌خواهند از دو جبهه مختلف قله را فتح کنند.

ولی به دلیل رقابت و عدم هژمونی هیچ کشوری نمی‌خواهد در طول مسیر، کوهنوردش پایین‌تر از کوهنورد کشور دیگر باشد و کشور دیگر از او بالاتر باشد.

بنابراین تصمیم گرفته می‌شود که دو کوهنورد از پایِ کوه طوری حرکت کنند که در هر لحظه ارتفاع آنها با هم برابر باشد و همزمان قله را فتح کنند؟ آیا این امر امکان‌پذیر هست؟

#معرفی شبیه سازی تشکیل کریستالهای تصادفی
ذرات از بالا و در مکانهای تصادفی به پایین می لغزند و به اولین مانعی که برخوردند، می چسبند.
بسیاری از پدیده های طبیعی که ساختاری فراکتالی دارند با همین مکانیزم ساده شکل میگیرند. مانند مرجان ها، رشد قارچ، شکل صاعقه، تشکیل کریستال آب نبات
در شکل پایین، حالت خطی این پدیده شبیه سازی شده است. ذرات تصادفی از محیط با چسبندگی و چگالی کمتر به سمت محیط با چسبندگی بیشتر حرکت و به تدریج توده ای فراکتالی تشکیل می‌دهند.